Przeciwstawność dwóch filozofii genezy pojęc i twierdzeń matematyki: platonizm vs. konstruktywizm , o której pisałem w poprzedniej notce, została nagle unieważniona odkryciem w roku 1930 przez Kurta Gödla [1] nieusuwalnej ograniczoności umysłu ludzkiego , którą popularnie można przedstawić w tym oto zdaniu:
Zbiór prawdziwych twierdzeń różni się od zbioru twierdzeń , które można udowodnić.
Lub w żargonie logiki i matematyki :
W każdym niesprzecznym systemie formalnym obejmującym arytmetykę , istnieją arytmetyczne prawdy ,których nie można udowodnić w ramach tego sytemu.
Według ogólnie przyjętej opinii światowych środowisk naukowych, twierdzenie K.Gödla jest najgłębszym i najwazniejszym twierdzeniem filozoficznym XX wieku i podstawą rewolucyjnych przemian w wielu dziedzinach nauki i kultury.
Konsekwencje tego twierdzenia znajdujemy w epistemologii, algorytmizacji myślenia, oraz w teorii i praktyce budowy sztucznej inteligencji [ Artificial Intelligence – AI ].
Kurt Gödel w 1925 roku
Po pierwsze ,Kurt Gödel dowiódł ,że istnieją zdania prawdziwe , których nie można dowieść w niesprzecznym systemie formalnym, czyli każdy formalizm jest niezupełny.Zawiera trzy rodzaje zdań:
Prawdziwe
Fałszywe
I co najmniej jedno takie, którego nie można [ w ramach systemu ] , ani udowodnić , ani obalić.Nazywamy je zdaniami Gödla.
Przykład zdania Gödla :
„Tego twierdzenia nie można udowodnić.”
Komentarz.
Twierdzenie odnosi się do siebie, gdyż twierdzenie, o którym mówi jest ono samo.
Jeżeli to twierdzenie można udowodnić, to jest ono prawdziwe.Czyli prawdą jest , że go nie można udowodnić.
System jest wewnętrznie sprzeczny.
Natomiast , jeśli go nie można udowodnić , to jest ono prawdziwe, przecież to właśnie stwierdza.
Mamy więc prawdziwe twierdzenie , ale udowodnić tego nie można.
A to oznacza ,że system formalny jest niezupełny.
Takie nierozstrzygalne zdania są w każdym niesprzecznym systemie formalnym.Rozstrzygnąć o ich wartości logicznej można tylko wychodząc poza dany system , budując szerszy, nowy.
Ale w tym nowym systemie formalnym , pojawi się znowu , co najmniej jedno twierdzenie nierostrzygalne, czyli zdanie Gödla.
Odkrycie to potwierdza wcześniejszą tezę Alfreda Tarskiego , warszawskiego logika i matematyka, że pojęcie prawdy wykracza poza każdy system formalny.
Jakie konsekwencje teoriopoznawcze wynikają z odkrycia Kurta Gödla ?
Po pierwsze , prawda i dowód nie muszą być w koniunkcji.Prawdziwość, to nie zawsze - dowodliwość. Mogę wiedzieć , że zdanie jest prawdziwe , lecz nigdy nie dowiodę tego formalnie.
Powstaje niepokojące pytanie: a skąd wiem , że ten sąd jest prawdziwy?
Nauki formalne przyzwyczaiły nas , że każdą wiedzę możemy formalnie dowieść [ prawdziwa/fałszywa ] i to właśnie przyzwyczajenie idzie na cmentarz.
7 września 1930 w Królewcu ,na sympozjum poświęconym problemom filozofii nauki, D.Hilbert [2] ten sam ,który dwa lata wczesniej w Bolonii, na Międzynarodowym Kongresie matematyki ogłosił program pełnej aksjomatyzacji matematyki i wypędzenia z niej semantyki, czyli oddania się w niewolę cudownych , absolutnie niezawodnych formalizmów – usłyszał potworną herezję z ust nikomu nieznanego Austriaka, że prawda może być nie dowodliwa formalno-logicznie!
Czy można się więc dziwić temu ,że w oficjalnym sprawozdaniu z tego sympozjum brak nawet wzmianki o wystąpieniu Kurta Gödla ?!
Po drugie,jeśli pojęcia i twierdzenia matematyki , lub ogólnie ludzkiej wiedzy istnieją tak jak idee platońskie ,to znaczy są [3] :
inteligibilne
niecielesne
bytują w sensie pełnym
niezmienne
samoistne
jednością
to jednak pierwsza z wymienionych własności, w świetle odkrycia K. Gödla staje pod znakiem zapytania.
Inteligibilnośc bowiem idei oznacza , że idea może być ujęta tylko przez umysł.Tym samym stajemy na rozdrożu: albo logika formalna nie jest fundamentem działania umysłu , albo logika umysłu jest ograniczona w poznaniu świata idei.
Kurt Gödel pozostał jednak konsekwentnym platonikiem , tylko dokonał korekty Platona.Odrzucił z definicji punktu pierwszego listy, słówko „tylko” , oraz do tej listy atrybutów idei dodał siódmy punkt :
dane w oglądzie intuicji duszy
Pisze bowiem tak [4]:
„Duch ludzki nie potrafi , bo nie jest zdolny- zmechanizować wszystkich intuicji matematycznych.Gdy formalizuje jakąś ich część , to okazuje się ,że ten fakt wymaga nowej wiedzy intuicyjnej .”
Lub w innym miejscu dla uzasadnienia roli intuicji przywoła Kanta:
„I would like to point out that this intuitive grasping of ever newer axioms that are logically independent from the earlier ones, which is necessary for the solvability of all problems even within a very limited domain, agrees in principle with the Kantian conception of mathematics.”
Myliłby się ten , kto by sądził , iż filozofia poznania Gödla należy do historii zmagań umysłu z problemem samopoznania i granic poznania świata.
Gregory J.Chaitin, twórca algorytmicznej teorii informacji dostrzegł zarówno w pracach Turinga , jak i Churcha ścisłe związku z odkryciem Gödla. Jak wiadomo Turing sformułował problem rozstrzygalności w języku teorii maszyn {automatów] liczących, jako problem „zakończenia pracy”. Najprościej można ten problem sformułować tak:
Czy istnieje ogólna procedura [ algorytm ], która pozwala z góry stwierdzić , czy dowolny program , dla dowolnych danych początkowych , zakończy pracę po wykonaniu skońzonej liczby kroków?
Turing rozstrzygnął ten problem jednoznacznie:
taka procedura nie istnieje.
Jeżeli problem polega na obliczeniu pewnej wielkości [ np.liczby ] , to z tw.Turinga-Churcha wynika, że istnienie tej wielkości nie jest równoznaczne z mozliwością jej obliczenia.
Inaczej pisząc: istnieją liczby nieobliczalne !
Co więcej , liczby obliczalne stanowią wyjątki.
Gregory Chaitin powyższe badania i rezultaty wzbogacił i uścislił budując matematyczną teorię losowości, złożoności i ograniczeń [ the Limits ], która przedstawił w słynnej pracy, tłumaczonej na wiele języków [5].
Chaitin wykazał , że istnieje nieskończenie wiele problemów w teorii liczb, których rozwiązania nie można otrzymać na podstawie wnioskowania logicznego z aksjomatów.
Okrył liczbę „omega” nieobliczalną , której kolejne cyfry odpowiadają nieskończonej liczbie efektywnie losowych [ przypadkowych ] faktów arytmetycznych.
O wyborze wartości cyfre liczby „omega’ można również dobrze decydować na podstawie rzutu monetą, jest to problem formalnie – nierozstrzygalny.
Chaitina matematyka nabiera cech nauki empirycznej , w której rządzi losowość , przypadek.
Odkrycie limesów poznania matematycznego nie może pozostawać bez konsekwencji dla fizyki teoretycznej ,a dokładnie dla aspiracji i marzeń fizyki teoretycznej.
Postulat formalizacji struktur teorii fizycznych [ ba nawet aksojomatyzacji niektórych modeli ], od wielu lat miał uzasadnienie w tym, co zostało definitywnie obalone przez Kurta Gödla.
Nieporzucona definitywnie do tej pory, idea budowy Jednolitej Teorii Wszystkiego [United Theory of Everything- UTOE] , jest w świetle badań Gödla ,Turinga,Chaitina celem o wątpliwej wartości poznawczej albowiem:
rzeczywistość jest bogatsza od najbardziej bogatej i złożonej teorii,
prawda jest nieosiągalna na drodze mechanicznych procedur formalnych.
Literatura
[1] K. Gödel,Collected Works,Oxford Univ.Pres,Vol.I,N.Y.2001
[2] R.Zach , Hilbert's Program Then and Now , http://arxiv.org/pdf/math/0508572v1.pdf
[3] Platon, Dialogi – Fedon,Verbum , Warszawa,2007,str.225-297
[4] K. Gödel,Collected Works,Oxford Univ.Pres,Vol.III,N.Y.2001
[5] G.J.Chaitin,The Limits of mathematics,Springer Verlag,London,2003
