Bóg istnieje, ponieważ matematyka jest niesprzeczna. Ale diabeł też istnieje, ponieważ nie można tego udowodnić.
André Weil
Z matematyką mają kłopoty nie tylko uczniowie, ale nawet sami matematycy. Oczywiście, że nie są to kłopoty tego samego rodzaju i znaczenia, ale zawsze stwierdzenie to może być jednoczesnym pocieszeniem dla obydwu kategorii osobników.
Uczniowie mają najczęściej kłopoty, gdy „ przebywają” w matematyce, gdy zanurzają się w zawiły świat struktur i obiektów matematycznych, gdy usiłują zrozumieć zasady i reguły poruszania się w nim, gdy muszą okazać przed nauczycielem swoje wykształcone umiejętności liczenia , dowodzenia i specyficznego myślenia matematycznego.
Kłopoty zaś matematyków rodzą się i bytują w sytuacjach diametralnie innych. A mianowicie, gdy patrzą się na matematykę ze stanowiska „ meta „, gdy usiłują zrozumieć jej skuteczność , tajemnice powstawania , ograniczenia w jej stosowaniu, ewolucję pojęć i metod itd. Wtedy , nie jest to już działalność ściśle matematyczna, lecz jawi się, jako filozofia matematyki.
I właśnie w ostatnich latach, chyba na skutek zadziwiających możliwości zastosowań matematyki w fizyce, kosmologii lub technologii komputerowej, spotęgowały się dyskusje i analizy na temat tego , jak to się dzieje, że w ogóle jest możliwe opisanie rzeczywistości w języku matematyki?
Dlaczego prawa przyrody można wyrażać przez funkcje matematyczne? Skąd bierze się owa tajemnicza własność pewnych struktur matematycznych ( modeli formalnych ), iż dedukcyjnie można wywieść z nich prawdziwe wnioski ( tezy ) o rzeczywistości fizykalnej ?Dlaczego zachodzi taka odpowiedniość ( homomorfizm) między formalizmem matematycznym a strukturami fizycznymi określonych obszarów rzeczywistości?
Na przykład pomiędzy : formalizmem Hamiltona - Lagrangea a mechaniką klasyczną punktu, teorią rozmaitości riemannowskich, a globalna strukturą fizycznej czasoprzestrzeni, teorią liczb i funkcji zespolonych, a pewnymi strukturami kwantowymi w mikro-świecie.
Ten zestaw pytań , bardzo ważnych i doniosłych dla fizyków i kosmologów ( a w części, dla wszystkich dyscyplin przyrodniczych ) dopinguje ich do poszukiwań w pełni sformalizowanej Teorii Wszystkiego. Wprawdzie w ostatnich latach nikt poważny publicznie nie głosi ,iż poszukuje TOE, ale po cichu, w wielu gabinetach fizyków – teoretyków nadal odbywa się „gonienie zajączka”, czyli pogoń za pełną wiedzą o „Wszystkim”.
Tymczasem istnieje grupa pytań , bardziej istotna dla matematyków ,a w dalszej konsekwencji nie bez wpływu na fizykę.
Chodzi o to, by ustalić jaki jest sposób istnienia obiektów matematycznych takich jak : liczby , funkcje, twierdzenia.
Jaka jest ontologia tych bytów? Wiadomo, że istnieją inaczej niż rzeczy ( na przykład poza czasem i przestrzenią ). Ale czy przez to ich istnienie jest słabsze, mniej realne od istnienia rzeczy? Czy istnieją tylko wtedy gdy są treścią świadomości konkretnej osoby?
A jak powstają ? Jak się rodzą ? Jak na przykład powstało twierdzenie Pitagorasa? Czy Pitagoras je odkrył jako istniejące, jako nagle ukazujące się mu w wyobraźni, umyśle? Czy przeciwnie - sam je zaprojektował, skonstruował, wynalazł?
Tym właśnie kłopotom matematyków (pracujących także w fizyce , kosmologii, fizyce informatycznej) poświęconych jest wiele prac ,a wśród nich, ja specjalnie wyróżniam dwie niezwykłe książki[1,2] autorstwa J.D.Barrowa, profesora fizyki i kosmologii na uniwersytecie Cambridge( Anglia ),oraz jedną G.Chaitina,profesora matematyki na uniwersytecie Rio de Janeiro [ w następnej części artykułu] .
Niezwykłość pierwszej książki [1] objawia się zarówno w treści jak i formie literackiej. Matematyka w niej jest postrzegana, jako żywy proces tworzenia lub współtworzenia niesamowitego świata o mocno tajemniczej naturze, której zgłębianie jest ważnym doświadczeniem egzystencjalnym dla człowieka. Autor pokazuje matematykę, jako żywy organizm przenikający inne nauki , kulturę i cywilizację.
Zdumiewa i oszałamia zgromadzony materiał faktograficzny z wielorakich obszarów myśli i działalności ludzkiej. Często jest to materiał zaskakujący nawet dla czytelnika o pewnym przygotowaniu matematycznym np. fragmenty biograficzne dotyczące genialnych matematyków na str. 260-264, 274-280, 283-318.Nie można również przeoczyć jej formy literackiej, owej lekkości stylu, klarowności dowodów i uzasadnień, dyskretnego humoru i dowcipu. Autor uczy - bawiąc i zarazem , bawi - ucząc.
Osnową tej bogatej na wielu płaszczyznach książki jest problem nie tyle samej matematyki, lecz jej stosunku do wszelkiego istnienia , do całego wszechświata.
Problem jest tyle samo doniosły, co i trudny do jednoznacznego rozwiązania.
Dlaczego wszystko, co istnieje, jako dane zmysłowe, jest matematyzowalne?
Odpowiedź na to pytanie - zdaniem autora - zależy w silnym stopniu od przyjęcia jednego z dwóch stanowisk wobec istoty twórczości i poznawania w matematyce, jak również natury oraz sposobu istnienia obiektów matematycznych.
Pierwsze stanowisko( L. Brouwer, D.Kronecker ) przyjmuje, iż matematyka jest wymyślana przez ludzi, jest przez nich projektowana i konstruowana. Żaden obiekt matematyczny, obojętnie czy to będą liczby, figury geometryczne, równania , funkcje itp. nie istnieje dopóty, dopóki ktoś nie sformułuje definicji pozwalającej, albo go obliczyć w skończonej liczbie kroków, albo skonstruować .
Na przykład, sześciokąt foremny nie istniał do momentu podania po raz pierwszy konstrukcji za pomocą cyrkla i liniału. L. Brouwer definiował matematykę : „ jako strukturę , którą można zbudować z liczb naturalnych oraz elementarnych procesów liczenia za pomocą przeprowadzonych , krok po kroku dedukcji „.
Albo liczby nadrzeczywiste [ surreal numbers] zaistniały tylko dlatego, że Donald Knuth (: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness , 1974), oraz później John Conway (On Numbers And Games, 2nd ed. , 2001) wpadli na pomysł ich konstrukcji za pomocą uogólnionych przekrojów Dedekinda, a nawet zaprojektowali aksjomatykę tych liczb.
Tym samym, przykłady powyższe mają dowodzić , że twórczość matematyczna miałaby wypływać z wrodzonych struktur umysłu ludzkiego i stałej tendencji w człowieku do nadawania sensu wszelkiemu doświadczeniu zmysłowemu.
Obóz konstruktywistów podlegał istnemu trzęsieniu ziemi, przez odkrycie u początków XX wieku teorii mnogości ( G. Cantor ), a współcześnie przez odkrycie i powstanie działów matematyki wielkości i funkcji nieobliczalnych.
To drugie stanowisko ma swoich znakomitych antenatów w czasach starożytnych i na przykład łączy się z twórczością i osobą Platona i jego poglądami na istnienie bytów geometrycznych lub ogólnie - matematycznych.
W pozaziemskim świecie, nie przestrzennym i bezczasowym egzystują idee, wzorce rzeczy i zjawisk materialnych ze świata podksiężycowego.
Wśród tych idei ( lub inaczej - uniwersaliów ) są również idee liczb , figur, relacji matematycznych. Ideę lub formę na przykład twierdzenia Pitagorasa odkrył ( lub doświadczył wewnętrznie ) człowiek historyczny o imieniu Pitagoras z Samos w tajemnym procesie anamnezy. Nie wynalazł , nie wymyślił , lecz poznał w doświadczeniu pozazmysłowym, przez wgląd duszy w świat pozaczasowych i poza-przestrzennych form.
Treścią więc (według Platona)matematyki uprawianej i rozumianej przez ludzi są odbicia , obrazy idei-wzorców z doskonałego świata platońskiego. Dlatego matematyka może być stosowana do opisu i przewidywania rzeczywistości zmysłowo dostępnej , bo ta rzeczywistość cała jest odbiciem struktur matematycznych, pochodzących z doskonałego świata form i idei.
J.D.Barrow jest świadomy ,że przyjęcie platonizmu pozwala wyjaśnić wiele problemów metodologicznych ( i podaje przykłady ich), ale jednocześnie prowadzi do sytuacji teoriopoznawczych wielce zagadkowych i tajemniczych.
Przede wszystkim pytanie : jak człowiek dociera do świata platońskich idei? Przecież nie na drodze poznania zmysłowego. Więc poznanie pozazmysłowe? podobne do doświadczenia mistycznego , religijnego? Czyli matematyka jako religia? A matematycy jako kapłani ? Następnie, nieunikniony dualizm ontologiczny prowadzący do zagadkowego i niewytłumaczalnego paralelizmu psychiczno- cielesnego.
Toteż J.D.Barrow , wykorzystując odkrycia w dziedzinie teorii tzw. sztucznej inteligencji i automatów matematycznych prezentuje w książce omawianej pewną wersję platonizmu, którą zwie platonizmem „do góry nogami”.
Najpierw zaczyna od wstępnego założenia : samo istnienie matematyki takiej do jakiej dziś doszliśmy, oraz jej stosowanie w życiu człowieka jest dowodem tego , że głęboka struktura wszechświata jest matematyczna.
Stąd tylko krok do wiary w istnienie Teorii Wszystkiego , istnienie jednej jedynej formy matematycznej , nie wymagającej już wyprowadzenia z jakiejś innej, a przeciwnie - z niej będzie można wyprowadzić na drodze dedukcji dowolne prawa i związki szczegółowe opisujące i wyjaśniające grę wszystkich cieni w jaskini Platona.
I tak jak we wcześniejszej pracy (Teorie wszystkiego,Kraków,1996 , też przetłumaczonej u nas ), J.D.Barrow tego aktu wiary dokonał, tak w tej książce o tytule angielskim „ Pi in the Sky „ lepiej oddającym jej treści, niż tytuł zaproponowany przez tłumacza - już tylko sympatyzuje się z nią , zmieniwszy jej postać na aktualną, to znaczy - komputerową
Badania w dziedzinie teorii systemów aksjomatycznych sugerują , iż od pewnego stopnia złożoności formalnych ciągów dedukcyjnych przekształceń w danym systemie mogą się pojawić sekwencje nieobliczalne, nie algorytmiczne, które zdaniem autora można interpretować jako stany „ samoświadomości „ , jako „ umysły „ w obrębie samego siebie.
Każdy system formalny dostatecznie bogaty i złożony zaczyna sam z siebie , nie do przewidzenia przez twórcę tej aksjomatyki „ produkować „ ścieżki działań wyprowadzające poza ten system. Innymi słowy , świadomość ( umysł ) jest własnością softwareu i żaden hardware nie jest tutaj o tym decydujący.
Pytanie tylko od jakiego stopnia złożoności , formalizm matematyczny objawia świadomość. I czy na prawdę jest to świadomość tej samej natury co świadomość ( umysł ) ludzki? Wiadomo , że świadomość ludzka odznacza się indywidualnością, a nie uniwersalizmem.
Nie myśli mózg człowieka, lecz zawsze „ Ja „ myśli. „ Ja „ jest osobowe, więc czy na prawdę hardware jest bez znaczenia?
Na konferencji prasowej Templeton Prize 15 marca 2006 (foto:Karen Marshall)
Czy matematyk zgodziłby się na osobowe istnienie świadomości formalizmu matematycznego? Na początku rozważań tego problemu ( s. 397-410 ) autor ujmuje termin świadomość w cudzysłów , gdy odnosi go do systemów formalnych o wielkiej złożoności.
Później ten cudzysłów odrzuca i pisze , że symulacje procesów umysłowych , należy traktować po prostu jako procesy umysłowe. Można więc multiplikować, powielać procesy „ umysłowe „ formalizmów matematycznych. Czy można powielać procesy świadomościowe osobowe?
Taki odwrócony do góry nogami platonizm ( nie odkrywam idei- wzorców platońskich, lecz jestem ich spełnieniem ) upoważnia go do skłonienia się ku myśli , iż cały wszechświat jest ewoluującym software, co można uważać za współczesną językowo , wersję panteizmu.
Panteizm ten jest także postawiony na głowie albowiem myśli o Bogu i teologia mogą się pojawić lokalnie w tym kosmicznym softwerze tylko za sprawą wzrostu stopnia złożoności formalnych przekształceń( s. 399 ).
W tekście znajdujemy nawet określenie : samoświadomy obserwator wewnętrzny formalizmu matematycznego bez cudzysłowu !Ale jednocześnie autor wykorzystując prace E.Posta i R.Penrosea napisze, iż tego rodzaju obserwator nie może rozstrzygnąć czy jest częścią czyjejś symulacji.
A to oznacza , że żywy matematyk -jako osoba rozstrzygająca w akcie twórczości czy system jest zupełny czy nie- nie jest tożsamy (w sensie ontologicznym ) z owym „ obserwatorem „ wewnętrznym, wyprodukowanym przez działające, bogate i niezupełne formalizmy.
Innymi słowy : matematyka jako fenomen duchowy rzuca dodatkowe światło na naturę człowieka. Badając matematykę możemy coś ważnego powiedzieć o świadomości ludzkiej.
Sądzę , że książka J.D.Barrowa przekonuje czytelnika , iż tajemnice istnienia i tworzenia matematyki , gdy je zgłębiać, prowadzą nas w obszary jeszcze głębszych i egzystencjalnie bardziej doniosłych tajemnic.
Tym samym chcę powiedzieć, że jest ona wyjątkowo rzadkim przykładem pięknej i wartościowej twórczości upowszechniania nauki. Jestem przekonany ,że nowe wydanie J.D.Barrowa(z wiernym tłumaczeniem oryginału tytułu) będzie miało duże znaczenie kulturowe na krajowej pustyni życia umysłowego.
Literatura
[1] J.D.Barrow, Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being,Oxford,1992
(istnieje polskie wydanie pod idiotycznym tytułem:Pi razy drzwi,Prószyński i Ska,Warszawa,1995
[2] J.D.Barrow, Impossibility: Limits of Science and the Science of Limits,London,1999
( polskie wydanie :Kres możliwości? Granice poznania i poznanie granic,Prószyński i Ska,Warszawa,2005
