Wirująca ruchem jednostajnym karuzela w “Disneylandzie” [ lub pozioma tarcza-podłoga, można ją spotkać też w disnejlandach ] jest układem nieinercjalnym dlatego ,że istnieje w niej przyspieszenie dośrodkowe.
Jego wzór – znany już uczniom gimnazjalnym – jest
1.a( r) = v^2/r
gdzie v- prędkość liniowa
r- promień okręgu
Jeśli skorzystam ze znanej zalezności pomiędzy prędkością liniową v oraz prędkością kątową w
2. v = w*r
i podstawię 2 do 1
to mam
3. a( r) = [w*r]^2/r = w^2*r
W każdym układzie nieinercjalnym [a więc także i w układzie wirującym ] działają siły bezwładności [ inercji ].
Rys.1 a.Obserwator inercjalny stwierdz istnienie siły dośrodkowej T
Rys.b Obserwator nieinercjalny w rotującym układzie stwierdz istnienie sił inercji ,odśrodkowych m*v^2/r
W układzie rotującym, siły inercji są skierowane wzdłuż promieni, mają kierunek radialny, odśrodkowy.
Ta siła inercji nazywa się - siłą odśrodkową.Oczywiście jej wartość jest równa wartości siły dośrodkowej [ warunkującej rotację] tylko zwrot ma od środka.
Wzór na obliczanie siły dośrodkowej jest
4. F( r)= m*a( r) , podstawię 3 do 4 i otrzymam
5. F ( r) = m*a( r) = m*w^2*r
Przyspieszenie to ma kierunek radialny jest wywołane przez siłę dośrodkową.Z II zasady dynamiki wiemy,że
4. F = m*a
a w naszym zagadnieniu podstawiając 3 do 4
5. F ( r) = m*a( r) = m*w^2*r
Ze wzoru 5 widać ,że siły inercji odśrodkowe są proporcjonalne do odległości od centrum. Zanotujmy to :
w układzie wirującym występuje pole sił inercji o kierunku radialnym w każdym punkcie, z wyjątkiem centrum.
Można więc do tego układu zastosować zasadę równoważności Alberta Einsteina [ o równoważności pola inercji i pola grawitacji lokalnie] i powiedzieć ,że
na wirującej poziomej tarczy lub karuzeli, występuje pozorna [bo nie wywołana masą ciężką] radialnie skierowana grawitacja.
Pozorna nie znaczy ,że jest złudzeniem, to jest realnie istniejąca siła ,mierzalna i wywołująca skutki ze stanowiska obserwatora żyjącego na wirującej tarczy.
Ciała w tym układzie “ciążą” ku przestrzeni obwodowej.
Rys.2.Elastyczna taśma wiruje wokół osi pionoewj.Siły inercji powodują jej spłaszczenie do postaci elipsoidy obrotowej [linia kreskowana czerwona]
I jeśli nie przyłożymy sił równoważących, wszystkie znajdą się na największym obwodzie tarczy, najdalej od jej centrum. Technicy mówią o sztucznie wytwarzanej grawitacji , np. na stacjach orbitujących. Takie pole sił inercji występuje w różnego typu wirówkach.
Rys.3. Suszarka wirówkowa.
Skoro centralne pole sił bezwładności[ o zwrocie od centrum] jest równoważne polu grawitacyjnemu ,do tego pola możemy zastosować twierdzenie o grawitacyjnej dylatacji czasu.
Ustalę więc wzór na dylatację czasu w układzie “ wirująca karuzela, lub “wirująca pozioma podłoga”.
W tym celu wrócę do wzoru na grawitacyjną dylatację czasu, gdyż mam do tego prawo na mocy einsteinowskiej zasady równoważności:
6.dt = d(tau)*(1 - 2GM/c^2*r)^(-1/2), gdzie "tau" jest czasem własnym obserwatora inercjalnego .
WyrażenieV = G*M/r
jest znanym wzorem na potencjał grawitacyjny [wartość bezwzględną potencjału ], oznaczę więc przez V i wprowadzę do wzoru 6
6. dt = d(tau) *( 1 – 2V/c^2)^(-1/2)
Widać z niego ,że muszę mieć wzór na potencjał V sił inercji na wirującej karuzeli, by otrzymać dylatację czasu w takim układzie odniesienia.
Otrzymam go ze znanej zależności pomiędzy siłą potencjalną, a potencjałem pola [ten wzór w szkole średniej już nie występuje]:
7.F( r)/m = -dV/dr
ale to wyrażenie co stoi po lewej stronie wzoru 7 jest przyspieszeniem dośrodkowym,więc
po podstawieniu 3 do 7 otrzymuję
8.w^2*r = -dV/dr
i po scałkowaniu [takie działanie matematyczne już od dawna w szkole średniej jest niedostępne]tego wyrażenia w przedziale [0,r] dostaję
9. V = - 1 / 2 * w^2*r^2
Potencjał na wirującej karuzeli jest wszędzie ujemny ,rośnie jego względna wartość z odległością od centrum obrotu, a w punkcie umocowania osi obrotu jest równy zero.
Podstawiając wartość bezwzględną V [wzór 9 ] do wzoru 6 otrzymam
10. dt = d(tau) *[ 1 – (w*r)^2/c^2] ^(-1/2)
Jest to robocza [do weryfikacji doświadczalnej] formuła na dylatację czasu w układzie rotującym.
Rys.4. Mała kulka przy ścianie bocznej , wewnętrznej , w wirującej dużej kuli nie zsuwa się dlatego , że siły inercji dociskają ją [czerwony wektor F(B0)
Im dalej od osi obrotu karuzeli [ lub poziomej tarczy] tym wolniej płynie czas. Pierwiastek z różnicy dwóch składników jest w mianowniku ułamka ,gdy r rośnie to maleje ta różnica ,a jeśli mianownik ułamka maleje, to rośnie wartość ułamka, czyli czas t.
Wynika stąd praktyczna rada.
Chcesz dłużej żyć – częściej przebywaj na wirującej karuzeli, albo na wirującej traczy poziomej ,przy czym przebywaj jak najdalej od centrum tarczy wirującej.
Gdyby Ziemia nie miała rotacji wokół osi ,żylibyśmy krócej. Fizycy cząstek elementarnych dobrze wiedzą ,że czas życia rotujących cząstek na orbitach kołowych w akceleratorach jest dłuższy, niż czas życia cząstek nieruchomych.
Wrócę na moment do formuły na dylatację czasu w układzie rotującym, czyli do równania 10.
Jeśli nastąpi
(w*r)^2 = c^2
to
11. w*r = c
wówczas cały wyraz w nawiasie ,we wzorze 11 przyjmuje wartość zero i mamy nieoznaczoność, bo ten nawias jest pod pierwiastkiem, ale w mianowniku ułamka. Dla obserwatora znajdującego się w centrum takiego wirującego świata ,zegary znajdujące się w odległości
12. r= c/w
od niego,
nie wskazują upływu czasu, czas nieruchomieje.
Promień tego okręgu, gdzie czas upływa nieskończenie powoli zależy od prędkości kątowej wirowania tego świata. Dla w= 100 rd./s
r= 3*10^8 : 100 = 3*10^6 m = 3000 km
W takim razie wyznaczę prędkość kątową Ziemi, gwarantującą życie wieczne ziemianom na powierzchni globu, dzięki zwiększeniu prędkości wirowania.
Promień Ziemi przyjmę 6500 km i podstawię do wyrażenia 11
W*6500 = 300 000 km/s
Skąd
W = 300 000km/s: 6500 km = ok.46 rd./s
Ziemia przy takich obrotach byłaby prawdziwym bąkiem, no i ludzie mieszkający na niej żyliby wiecznie...
Pytanie jednak jest inne, równoległe : a jaki ciężar miałby ten przeciętny długowieczny mieszkaniec Ziemi, wirującej z prędkością ok.50 obr./s ? I w którą stronę ten wektor ciężaru byłby zwrócony?
Zresztą zainteresowanych fizyką na wirującej tarczy poziomej/karuzeli zapraszam do własnych przemyśleń, np.:
Czy w takim świecie wystąpi kontrakcja długości? Jaki będzie jej kierunek? Jaka formuła?
A czy można oczekiwać gravitational redschift-u? Jeśli, to jaka formuła?
A jak wygląda równanie metryki przestrzeni w układzie wirującym? Dla wygody weźmy przestrzeń 2-D i obliczmy odległość dwóch dowolnych punktów na wirującej tarczy !
Czy w tym wirującym świecie da się utrzymać geometria euklidesowa i wzór na odległość dwóch punktów wyprowadzony z twierdzenia Pitagorasa?
Eksperymenty pomyślane w układach wirujących mogą mieć duże znaczenie poznawcze w astrofizyce i kosmologii ,jeśli sobie uprzytomnimy ,że zjawisko rotacji materii jest rysem podstawowym wszechświata. Zwracam uwagę czytelnika na galaktyki spiralne których materia gwiezdna wiruje wokół centrum.
Tutaj jest pole do działań wszystkich amatorów-pasjonatów formułowania nowych hipotez dotyczących dynamiki układów gwiezdnych.
