Ojciec Hermanna Gunthera Grassmanna widocznie był bardzo zadufany w swym wykształceniu i wiedzy (był nauczycielem matematyki i fizyki w gimnazjum, autorem prac z krystalografii, podręczników matematyki i fizyki, dyrektorem słynnego gimnazjum szczecińskiego), gdyż dokonał co najmniej nieświadomego transferu tej wiedzy do dziedziny psychologii osoby i na postawie tego, trzecie z dwunastu swych dzieci- właśnie Hermanna- uważał za niezbyt rozgarnięte, a nawet sądził ,iż można tylko spróbować go przysposobić do ogrodnictwa, lub jakiegoś rzemiosła, biorąc pod uwagę jego rzekome widoczne opóźnienie w rozwoju umysłowym.
Tymczasem, to Hermann Grassmann figuruje w każdej encyklopedii -a nie jego ojciec- jako wybitny matematyk, fizyk, językoznawca i teolog.
200-lecie urodzin Hermanna Guntera Grassmanna (15 .IV. 1809 - 26 IX. 1877), europejska nauka i kultura obchodzą imponująco rozlegle. Udział nauki polskiej w tym jubileuszu jest też niemały, bo przecież w Szczecinie przeszedł na świat ten samorodny talent matematyczny ( i nie tylko matematyczny) ,graniczący –jak chcą niektórzy metodolodzy i historycy nauki- z fenomenem geniusza.
Pierwsze sympozja odbyli w kwietniu bieżącego roku, matematycy Monachium i Kolonii. Wielką, międzynarodową konferencję (“Bicentennial Conference”) zatytułowaną : “From Past to Future – Grassmann’s Work in Context” zorganizowały 16-19.09. br. wspólnie uniwersytety z Potsdamu(Poczdamu) i Szczecina.
Kilka dni wcześniej ,stała grupa kosmologiczna Uniwersytetu Szczecińskiego, zorganizowała międzynarodową konferencję pt. ‘Grasscosmfun 09” z udziałem min:
-J.D.Barrowa,UK,Unv,Cambridge
-M.Bojowalda,USA,Univ.Penn.State
-M.Hellera,Vatican Observatory
-M.Kowalskiego,Germ.Unv.Humboldt ,Berlin
-K.Meissnera,UW,Polska
-A.Nesterova,Mexico,Univ.Guadalajara
-G.Khadekara,Univ.Nagpur,India
Referaty wprowadzające o związkach niektórych idei matematycznych H.Grassmanna z problematyką współczesnej kosmologii wygłosili:
1.H.Nicolai,”From Grassmann to maximal (N= 8) supergravity”
2.Anthony Lasenby , “Grassmann, geometric algebra and cosmology”
3.Alexander Zheltukhin, “Dmitrij Volkov, superPoincaré group and Grassmannian variables”
Hans Joachim Petsche w swojej interesującej biografii Grassmanna [1] użył sformułowania – klucza, do odkodowania zjawiska życia i twórczości tego iście renesansowego człowieka określając go krótko, lecz zdecydowanie:
““A small-town genius”.
G.Schubring,redaktor bogatego tomu esejów poświęconych Hermannowi Guntherowi Grassmannowi [2],wydanego dużo wcześniej od biografii autorstwa Petschego,również akcentuje genialność myśli Grassmanna w wielu dziedzinach nauki ,chociaż na plan pierwszy wysuwa podwójny kontekst narodzin i rozwoju tego fenomenu osobowego, a mianowicie:
-osobliwość regionalizmu kultury niemieckojęzycznych obszarów (doniosłe znaczenie nauczycieli gimnazjów w rozwoju ogólnokrajowych badań naukowych ),oraz
-bardzo wysoki poziom intelektualny i kulturowy domu rodzinnego Hermanna (matka - córka ministra rządu regionalnego,wysokie wykształcenie klasyczne,utalentowana malarka i muzyczka, ojciec jako wybitny pedagog – działcz społeczny ,kandydował na stanowisko rządowe).
Renesansowy umysł Hermanna Grassmanna nie tylko objawiał się w wielostronności zainteresowań (matematyka, optyka, akustyka, elektromagnetyzm, filozofia, teologia, botanika, mineralogia, językoznawstwo , a w tym - słownik sanskrytu i tłumaczenie Rig-Wedy), lecz może przede wszystkim w stosowaniu transferu języka i metod z jednej dziedziny nauki, do innej dziedziny.
Odbywając studia filozofii i teologii w Berlinie, Grassmann nie tyle ,że był studentem Friedricha D.E. Schleiermachera, ile jego duchowym uczniem, który w czyn wcielił nauki mistrza o metodzie dochodzenia do prawdy o bycie w jego nieskończonych przejawach.
Schleiermacher, jawnie nawiązujący do presokratyków, do perfekcji doprowadził logikę dialektyczną w procesie oglądu wewnętrznego dowolnego problemu epistemologicznego lub ontologicznego, i tę metodę przekazał uczniowi radząc :
“uczyć się wszystkich nauk, by dane specjalistyczne zagadnienie zaatakować z każdej strony”.
Grassmann prawdopodobnie w swoim życiu nie wysłuchał ani jednego wykładu z matematyki lub fizyki, ale kiedy czyta się jego wykład rachunku wektorowego, to ma się wrażenie ,że obcuje się z czystą logiką scholastyczną średniowiecznej teologii: niesłychany poziom abstrakcji, oraz idealizacji w budowie definicji obiektu matematycznego, a następnie w konstrukcji dowodzenia istnienia własności, jako produktu finalnego.
Jego n-wymiarowa liniowa geometria algebraiczna (lub algebra geometryczna-“exterior algebra”),współcześnie określana liczbą mnogą: “algebry Grassmanna”, leży u podstaw dzisiejszej mechaniki kwantowej, a dokładniej pisząc : u podstaw idei supersymetrii i supergrawitacji.
W poprawionej i rozszerzonej wersji swej fundamentalnej pracy [3,4],podczas wprowadzenia pojęcia przestrzeni liniowej(wektorowej), Grassmann zapoczątkował niezwykle płodny styl myślenia abstrakcyjnego w matematyce i fizyce teoretycznej, zwany często strukturalizmem, którego technicznymi postaciami są np. teoria reprezentacji, teoria wiązek włóknistych .
W takim myśleniu, wychodzimy od pewnego “ciała” (zbioru),w którym mamy dobrze określone relacje między elementami i przy pomocy ustalonych reguł konstruujemy nowe obiekty, które nie były“widoczne” na poziomie “ciała’. Zbiór tych nowych obiektów stanowi uogólnione pojęcie “przestrzeni “ rozpiętej nad ciałem.
W działaniu tym obowiązuje konieczność zachowania zarówno związku z otrzymanymi wcześniej obiektami niższego poziomu (ciała),jak i relacji między nimi ,ale rozważanymi teraz na abstrakcyjnym, wyższym poziomie.
Właśnie relacje miedzy obiektami różnych poziomów, reguły rozumowania, oraz pojęcie równoważności, stanowią podstawę funkcjonowania struktury rozpiętej nad ciałem.
Bardzo często nowe obiekty tej struktury są “syntezą”. Można powiedzieć, ze nowy obiekt przestrzeni rozpiętej nad “ciałem “jest syntezą, nałożeniem się na siebie, różnorodnych relacji, oraz wynikiem przyjętego takiego, a nie innego, określenia równoważności.
Powyżej opisana skrótowo, metoda myślenia (rozumowania) ma swoje źródła w filozofii Platona (a dokładnie w jego “drugim żeglowaniu”- określenie Giovanniego Reale [5]), a do perfekcji została doprowadzona u scholastyków i teologów średniowiecza (zwłaszcza : Pseudo-Dionizy Areopagita, Jan Szkot Eriugena, Mikołaj Kuzańczyk ).
Die Ausdehnungslehre
H.Grassmanna jest przekonującym dowodem, iż podejście filozoficzne(metafizyczne) do problemów nauk szczegółowych (np. matematyki,fizyki) w fazie początkowej próby ich rozwiązania, jest niezwykle płodne i dopiero pod koniec może być wspomagane technicznym językiem i notacją symboliczną charakterystyczną dla danej dyscypliny .
W tym miejscu przychodzą mi na pamięć, styl i metoda atakowania zagadnień fizyki przez Stanisława Hellera,którego teksty poznałem z blogosfery( i Salonu 24), i jego arcysłuszny upór i determinację ,by język techniczny fizyki (kategorie) analizować i rozpatrywać ze stanowiska metafizyki (ontologii).
Wracając do ogólnej i skrótowej charakterystyki metody grassmanowskiej w matematyce przypomnę,że najczęściej ciałem jest zbiór skalarów ( np. liczby rzeczywiste, zespolone),a przestrzenią rozpiętą nad ciałem mogą być nie tylko wektory, lecz np. funkcje liniowe, wielomiany itd.
Istotą bowiem podejścia strukturalnego jest abstrahowanie od natury ontologicznej obiektów. Ważna jest forma elementu tej konstruowanej przestrzeni, a nie jego substancja.
Dlatego A.N.Whitehead ,w znanej pracy [6] napisze, że H.Grassmann jest twórcą “algebry uniwersalnej”.
U Grassmanna bowiem ,wynikiem takiego postępowania nad ciałem liczb rzeczywistych ,były algebry definiowane przez generatory i relacje tworzące tzw. grupę abelową.
Podstawowym elementem algebr n-wymiarowych Grassmanna [7] jest pojęcie “elementu płaskiego” , który jest iloczynem (tzw. “klinowym”) dwóch elementów liniowych , zwanych także “wektorami” o postaci kombinacji liniowej:
A = a(1)*c(1) + a(2)*c(2) + ....
B = b(1)*c(1) + b(2)*c(2) + ....
Gdzie:
a(1),a(2),...oraz b(1),b(2),..liczby rzeczywiste lub zespolone
c(1),c(2),...elementy bazowe ,generatory.
Iloczyn klinowy dwóch elementów liniowych(“wektorów”) A^B reprezentuje płaski równoległobok rozpięty na tych elementach, odpowiednio zorientowany i przeskalowany.
Oczywiście, może być potrójny grassmanowski iloczyn A^B^C rozpięty na trzech wektorach, lub ogólnie -" k-wymiarowy element płaski ” w
n-wymiarowej przestrzeni. Składowe iloczynu klinowego k-tego rzędu uzyskamy przez zantysymetryzowane iloczyny składowych poszczególnych wektorów.
Dla grassmanowskich iloczynów obowiązuje prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania, oraz relacje antykomutacji dla generatorów.
Algebry Grassmanna ( jako prostsza postać algebr Clifforda),to znakomite narzędzie matematyczne mechaniki kwantowej, teorii programowania, teorii nawigacji satelitarnej i lotniczej.
To dzieło umysłu genialnego, który rozkwitł na glebie abstrakcyjnego rygoru myślenia teologicznego i filozoficznego.
Po lekturze tylko fragmentów oryginału tekstu: Die Ausdehnungslehre, , nie waham się wyrazić przekonanie,że Grassmann miał wizję matematyki, jako nauki uniwersalnej o niewidzialnej i głębokiej strukturze bytu ,a nie jako nauki o liczbach i działaniach na nich.
Tym samym ,swym dziełem wyprzedzał współczesnych sobie o co najmniej sto lat.Stąd tragizm narodzin i recepcji jego idei matematyki dla przyszłych wieków.
Pierwsze wydanie Die Ausdehnungslehrewłaściwie poszło na przemiał.Środowiska naukowe krajowe, a także oficjele oświatowi ,wszyscy - zignorowali Grassmanna odkrycie nowego i doniosłego stylu myślenia matematycznego.
Po latach bycia asystentem profesora gimnazjalnego ,i posiadania praw do nauczania tylko w niższych klasach ,łaskawie nadano mu tytuł «profesora gimnazjum» odmawiając jednak dostępu do stanowiska i tytułów akademickich,chociaż uniwersytet w Tybingen nadał mu tytuł doktora honoris causa w dziedzinie teologii, a American Oriental Society przyjęło go w r.1876 na swego członka w uznaniu pracy nad słownikiem sanskrytu .
Rozgoryczony jednak i zniechęcony uwierzył w to ,że jego matematyka nie jest matematyką i zajął się innymi dziedzinami badania natury i zjawisk świata ludzkiego (teorią barw,teorią mowy,teorią kategorii teologicznych).
Tmczasem była to matematyka wieku XX-tego ,która pojawiła się w twórczej imaginacji takich wybitnych myślicieli jak:Caley,Hamilton,Peano,Clifford,Whitehead,
Klein,Cartan,Riemann - już w wieku XIX-tym, i w której to matematyce, myśl Hermana Grassmanna ma swoje niepoślednie miejsce [8].
Literatura
[1] Petsche, Hans-Joachim, Grassmann- Vita Mathematica, Birkhäuser,Basel,2006
[2] Schubring, G., ed., Hermann Gunther Grassmann (1809-1877): visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar. Kluwer,Dodrecht,1996
[3] H.G.Grassmann, Die lineareAusdehnungslehre,Wiegand,
Leipzig,1844.
English translation, by Lloyd Kannenberg, A new branch of mathematics. Chicago,1995
W 1862 H.Grassmann przygotował zmienioną wersję dzieła:
[4]Die Ausdehnungslehre, vollständig und in strenger Form bearbeitet,Berlin,1862. English translation, by Lloyd Kannenberg, Extension Theory, American Mathematical Society,2000
[5]G.Reale,Historia filozofii starożytnej,t.II,KUL,
Lublin,2001,s.73-157
[6] A.N.Whitehead,A Treatise on Universal Algebra,Cambridge Univ. Press, Cambridge 1898.
[8] C.L.Doran,A.N.Lasenby, Geometric algebra for physicists, Cambridge Univer.Press,Cambridge,2005
